Question

如圖，將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上使它的直角頂點(diǎn)P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B，另一邊與射線DC相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你觀察得到的結(jié)論．

Answer 1

分析：過點(diǎn)P作MN∥BC，分別交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，可得四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與角的互余關(guān)系進(jìn)行代換可得△QNP≌△PMB，故PQ=PB．

解答：答：PQ=PB
證明：過點(diǎn)P作MN∥BC，分別交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，則四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形，
△AMP和△CNP都是等腰三角形．
∴NP=NC=MB
∵∠BPQ=90°
∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90°
∴∠QPN=∠PBM．又∠QNP=∠PMB=90°
∵在△QNP和△PMB中，

∠QNP=∠PMB MB=PN ∠QPN=∠PBM

，
∴△QNP≌△PMB（ASA），
∴PQ=PB．

點(diǎn)評：考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)．注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系，可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率．