Question

如圖，已知頂點為C的拋物線y=ax²-4ax+c經過點（-2，0），與y軸交于點A（0，3），點B是拋物線上的點，且滿足AB∥x軸．
（1）求拋物線的表達式；
（2）求拋物線上關于原點中心對稱的兩個點的坐標；
（3）在線段AB上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）拋物線y=ax²-4ax+c經過點（-2，0）、A（0，3），有：
，解得
∴拋物線的解析式：y=-x²+x+3．

（2）依題意，設這兩個點的坐標為：（x，-x²+x+3）、（-x，x²-x-3）；
∴x²-x-3=-（-x）²+（-x）+3
解得：x₁=2、x₂=-2；
∴這兩個點的坐標為：（2，2）、（-2、-2）

（3）由（1）的拋物線解析式知：C（2，4）；
過點C作CG⊥y軸于G，如右圖；
∵A（0，3）、C（2，4）
∴OG=4，CG=2，CF=1，AF=2，AC=，OC=2；
則：tan∠COG=tan∠CAF=，即∠AOC=∠CAP；
若以P、A、C為頂點的三角形與△AOC相似，那么應有兩種情況：
①=，即 =
∴AP=，即 P（，3）；
②=，即 =
∴AP=，即 P（，3）；
綜上，存在符合條件的點P，且坐標為（，3）或（，3）．
分析：（1）已知拋物線經過的兩點坐標，直接利用待定系數法求解即可．
（2）首先根據這兩個點關于原點對稱，用未知數表示出兩點的坐標，再由這兩點都在拋物線的圖象上，將兩點坐標代入拋物線的解析式中即可．
（3）首先由O、A、C三點坐標，可確定∠CAP=∠AOC，那么若“以P、A、C為頂點的三角形與△AOC相似”，夾這組對應角的兩組對應邊必成比例，先求出AC、OC、OA三邊長，再由不同的比例關系式求出AP的長，而P點縱坐標易知（與點A相同），則點P坐標可求．
點評：本題主要考查了利用待定系數法確定函數解析式、關于原點對稱的兩點坐標的特點以及相似三角形的判定和性質；最后一題要注意根據不同的對應邊進行分類討論；總體的難度適中．