Question

如圖，已知頂點為P的拋物線y=

1

2

x2+bx+c經過點A（-3，6），并x軸交于B（-1，0），C兩點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）求四邊形ABPC的面S；
（3）試判斷四邊形ABPC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）把A、B兩點的坐標代入解析式即可求出未知數的值，從而求出函數解析式．
（2）根據（1）所求拋物線的解析式可求出B點及P點坐標，根據△ABC及△BPC的面積即可求出四邊形ABPC的面積．
（3）過點A和點P分別作x軸的垂線段AE和PF，根據拋物線的對稱性及直角三角形的判定定理可判斷出△BPC是等腰直角三角形，在由A點坐標及CE兩點之間的距離可求出△AEC為等腰直角三角形，可判斷出四邊形ABPC是直角梯形．

解答：解：（1）把A、B兩點的坐標代入解析式得到

1 2 ×9-3b+c=6 1 2 ×1-b+c=0

，
解得

b=-1 c=- 3 2

所以，拋物線的解析式為y=

1

2

x²-x-

3

2

；

（2）由拋物線解析式易得C（3，0），頂點P（1，-2），
S_{四邊形ABPC}=S_△ABC+S_△PBC=

1

2

BC•y_A+

1

2

BC•|y_p|=

1

2

（3+1）×6+

1

2

（3+1）×2=16，

（3）四邊形ABPC是直角梯形．理由如下：
如圖，過點A和點P分別作x軸的垂線段AE和PF，
又∵PB=PC
∴BF=CF
又∵PF=|y_p|=2，BC=4
∴PF=

1

2

BC
∴△PBC是直角三角形，且∠BPC=90°
∴∠PCB=45°
在直角三角形△AEC中，AE=|y_A|=6，CE=x_c-x_a=3-（-3）=6
∴AE=CE
∴∠ACE=45°
∴∠PCA=∠PCB+∠ACE=90°
∴∠PCA+∠BPC=180°
∴BP∥AC
又∠BPC=90°
∴四邊形ABPC是直角梯形．

點評：本題結合梯形及直角三角形的性質考查二次函數圖象上點的坐標特點，是一道綜合性較好的題目．