Question

如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于點E．
（1）①求證：△ABE∽△ADB；②若AE=2，ED=4，求⊙O的面積；
（2）延長DB到F，使得BF=BO，連接FA，若AC∥FD，試判斷直線FA與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）①由AB=AC可得弧AB=弧AC，根據在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓周角相等有∠D=∠ABC，根據相似三角形的判定易得到△ABE∽△ADB；
②由△ABE∽△ADB，AB：AD=AE：AB，即AB²=AE•AD，可計算出AB=2，由BD為⊙O的直徑，根據圓周角定理的推論得到∠BAD=90°，然后根據勾股定理有BD²=AB²+AD²=12+（2+4）²=48，則可計算出BD=4，再利用圓的面積公式計算即可；
（2）連OA，則AB=BF=OB=OA=2，可得到△OAB為等邊三角形，則∠OAB=∠OBA=60°，并且有∠F=∠FAB，則∠FAB=30°，于是得到∠FAO=30°+60°=90°，即有FA⊥OA，根據切線的判定定理即可得到直線FA與⊙O相切．
解答：（1）①證明：∵AB=AC，
∴弧AB=弧AC，
∴∠D=∠ABC，
而∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB；
②解：∵△ABE∽△ADB，
∴AB：AD=AE：AB，即AB²=AE•AD，
而AE=2，ED=4，
∴AB²=2×（2+4）=12，
∴AB=2，
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°，
∴BD²=AB²+AD²=12+（2+4）²=48，
∴BD=4，
∴⊙O的面積=π（）²=12π；

（2）解：直線FA與⊙O相切．理由如下：
連OA．
∵BD=4，
∴BF=OB=OA=2，
而AB=2，
∴AB=BO=OA，
∴△OAB為等邊三角形，
∴∠OAB=∠OBA=60°，
而BF=AB，
∴∠F=∠FAB，
而∠ABO=∠F+∠FAB=60°，
∴∠FAB=30°，
∴∠FAO=30°+60°=90°，
∴FA⊥OA，
∴直線FA與⊙O相切．
點評：本題考查了圓的綜合題：過半徑的外端并且與這條半徑垂直的直線是圓的切線；在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓周角相等；直徑所對的圓周角為直角；熟練掌握等邊三角形的性質；運用相似三角形的判定與性質和勾股定理進行幾何計算．