Question

【題目】如圖1，我們已經學過：點C將線段AB分成兩部分，如果，那么稱點C為線段AB的黃金分割點．某校的數學拓展性課程班，在進行知識拓展時，張老師由黃金分割點拓展到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1，S2，如果，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．

如圖2，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠C的平分線交AB于點D．

（1）證明點D是AB邊上的黃金分割點；

（2）證明直線CD是△ABC的黃金分割線．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

(1)證明AD=CD=BC,證明△BCD∽△BCA,得到.則有,所以點D是AB邊上的黃金分割點;

(2)證明,直線CD是△ABC的黃金分割線;

解：(1)點D是AB邊上的黃金分割點.理由如下:

AB=AC,∠A=,∠B=∠ACB=.

CD是角平分線, ∠ACD=∠BCD=,

∠A=∠ACD,AD=CD.

∠CDB=180-∠B-∠BCD=,

∠CDB=∠B,BC=CD.

BC=AD.

在△BCD與△BCA中, ∠B=∠B,∠BCD=∠A=,

△BCD∽△BCA,

點D是AB邊上的黃金分割點.

(2)直線CD是△ABC的黃金分割線.理由如下:

設ABC中,AB邊上的高為h,則

,,,

由（1）得點D是AB邊上的黃金分割點，

，

直線CD是△ABC的黃金分割線