Question

（2007•河池）如圖，四邊形OABC為直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．點M從O出發以每秒2個單位長度的速度向A運動；點N從B同時出發，以每秒1個單位長度的速度向C運動．其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．過點N作NP垂直x軸于點P，連接AC交NP于Q，連接MQ．
（1）點______（填M或N）能到達終點；
（2）求△AQM的面積S與運動時間t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍，當t為何值時，S的值最大；
（3）是否存在點M，使得△AQM為直角三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）（BC÷點N的運動速度）與（OA÷點M的運動速度）可知點M能到達終點．
（2）經過t秒時可得NB=y，OM-2t．根據∠BCA=∠MAQ=45°推出QN=CN，PQ的值．求出S與t的函數關系式后根據t的值求出S的最大值．
（3）本題分兩種情況討論（若∠AQM=90°，PQ是等腰Rt△MQA底邊MA上的高；若∠QMA=90°，QM與QP重合）求出t值．
解答：解：（1）點M．（1分）

（2）經過t秒時，NB=t，OM=2t，
則CN=3-t，AM=4-2t，
∵A（4，0），C（0，4），
∴AO=CO=4，
∵∠AOC=90°，
∴∠BCA=∠MAQ=45°，
∴QN=CN=3-t
∴PQ=1+t，（2分）
∴S_△AMQ=AM•PQ=（4-2t）（1+t）=-t²+t+2．（3分）
∴S=-t²+t+2=-t²+t-++2=-（t-）²+，（5分）
∵0≤t＜2
∴當時，S的值最大．（6分）

（3）存在．（7分）
設經過t秒時，NB=t，OM=2t
則CN=3-t，AM=4-2t
∴∠BCA=∠MAQ=45°（8分）
①若∠AQM=90°，則PQ是等腰Rt△MQA底邊MA上的高
∴PQ是底邊MA的中線
∴PQ=AP=MA
∴1+t=（4-2t）
∴t=
∴點M的坐標為（1，0）（10分）
②若∠QMA=90°，此時QM與QP重合
∴QM=QP=MA
∴1+t=4-2t
∴t=1
∴點M的坐標為（2，0）．（12分）
點評：本題考查的是二次函數的有關知識，考生還需注意的是要學會全面分析問題的可行性繼而解答．