Question

如圖，⊙O的圓心在Rt△ABC的直角邊AC上，⊙O經過C、D兩點，與斜邊AB交于點E，連接BO、ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于G，連接DF．
（1）求證：AB為⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，sin∠DFE=

3

5

，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）連接OE，證OE⊥AB即可．通過證明△BOC≌△BOE得證；
（2）根據垂徑定理，EF=2EG，所以求出EG的長即得解．連接CE，則∠CED=90°，∠ECD=∠F．CD=10．根據三角函數可求EG得解．

解答：（1）證明：連接OE．
∵ED∥OB，
∴∠1=∠2，∠3=∠OED．
又OE=OD，
∴∠2=∠OED，
∴∠1=∠3．
又OB=OB，OE=OC，
∴△BCO≌△BEO．（SAS）
∴∠BEO=∠BCO=90°，即OE⊥AB．
∴AB是⊙O切線．

（2）解：連接CE，
∵∠F=∠4，CD=2•OC=10；
由于CD為⊙O的直徑，∴在Rt△CDE中有：
ED=CD•sin∠4=CD•sin∠DFE=10×

3

5

=6．
∴CE=

CD2-ED2

=

102-62

=8．
在Rt△CEG中，

EG

CE

=sin∠4=

3

5

，
∴EG=

3

5

×8=

24

5

．
根據垂徑定理得：EF=2EG=

48

5

．

點評：此題考查了切線的判定、垂徑定理及解直角三角形等知識點，綜合性很強，難度較大．