Question

【題目】如圖，是的直徑，點是上一點，點是的內心，的延長線交于點，連．

(1)求證：；

(2)若，，①求的長； ②求的面積．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)①10；②24.

【解析】

（1）連接AI，運用內切圓的性質及三角形外角的性質問題即可解決．

（2）①連接BD，證明DB=DI，進而DB=DA；由勾股定理即可求得AB的長；

②作輔助線，構造相似三角形，求得△ABC的AB邊上的高，即可解決問題．

（1）連接AI．

∵點I是△ABC（AC＜AB）的內心，∴∠CAI=∠BAI，∠ACI=∠BCI．

∵∠DAB=∠BCI，∴∠DAB=∠ACI，∴∠DAB+∠OAI=∠ACI+∠CAI．

∵∠AID=∠ACI+∠CAI，∠DAI=∠DAB+∠OAI，∴∠AID=∠DAI，∴DA=DI．

（2）連接BI，OD，BD，過點C作CP⊥AB于點P．

①類比（1）中的方法，同理可證DB=DI，∴DA=DB=DI=．

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，由勾股定理得：

=10，即AB的長為10．

②∵∠ACD=∠BCD，∠DAQ=∠BCD，∴∠ACD=∠DAQ，而∠ADC=∠ADQ，∴△ADC≌△QDA，∴，∴=，∴．

∵DA=DB，AO=BO，∴DO⊥AB，．

而CP⊥AB，∴△CPQ∽△DOQ，∴，∴CP==，∴．即△ABC的面積為24．