Question

附加題：如圖，已如在△ABC中，AC=14，BC=6，∠ACB=45°，點O在AC上移動，⊙O始終和AB相切；切點為D，⊙O與AC交于E、F兩點（點F可在AC的延長線上）．
（1）設⊙O的半徑為r，在滿足題意的點O中，是否存在某一位置，使得⊙O與AB、BF都相切？若不存在，請說明理由；若存在，求出此時r的長．
（2）設四邊形BDOC的面積為S，求S與r的函數關系式及r的取值范圍．

Answer 1

解：（1）答：存在某一位置，使⊙O與AB、BF都相切，此時，BF⊥AC，BD=BF，如圖．
在Rt△BFC中．BC=6．
∠C=45°，
∴BF=BC•sin45°=6，
∴CF=BF=6，
∴AF=AC-CF=8，
∵在Rt△AFB中，AB²=AF²+BF²，
AB=10，
Rt△ADO∽Rt△AFB，
r=OD=3；

（2）如圖，過點B作BF⊥AC于F′，
∴BF′=6，
S_△ABC=42．
∵Rt△ADO∽Rt△AF′B．
∴AD=，
∴S_△ADO=，
則s=42-
同理，只要四邊形BDOC存在，S=42-總成立．
當點D與B重合時（F在AC的延長線上），r=，但此時，四邊形BDOC已不存在，
r的取值范圍為0＜r＜．
分析：（1）在Rt△BFC中利用銳角三角函數的定義可得出BF的長，在Rt△AFB中利用勾股定理可求出AB的長，再根據Rt△ADO∽Rt△AFB即可求出r的值；
（2）過點B作BF⊥AC于F′，可求出△ABC的面積，再根據相似三角形的性質可求出s的值，進而可得出r的取值范圍．
點評：本題考查的是切線的性質、勾股定理及相似三角形的判定與性質，熟知以上知識是解答此題的關鍵．