Question

已知：如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE、BE、DE．過點A作AE的垂線交DE于點P．若AE=AP=1，EB=．
（1）求證：△APD≌△AEB；
（2）探究EB與ED的位置關系，并說明理由；
（3）求正方形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用正方形的性質提供的相等線段和相等角，利用SAS判定兩三角形全等；
（2）利用上一道題證得的全等得到的對應角相等，證明∠BEP=∠PAE即可；
（3）正方形的面積是邊長的平方，而解決本題時不用求出正方形的邊長，而是直接利用勾股定理求得邊長的平方即可．
解答：（1）證明：∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∴△APD≌△AEB；

（2）解：∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED；

（3）解：如圖，過點B作BF⊥AF，交AE延長線于點F．
∵△AEP為等腰直角三角形，
∴∠AEP=45°，又∠DEB=90°，
∴∠FEB=45°，又∠EFB=90°，
∴△EFB為等腰直角三角形，又EB=，
設EF=FB=x，
在直角三角形EFB中，根據勾股定理得：x²+x²=（）²，
解得：x=，所以EF=BF=，
∵EF=BF=，AE=1，
∴在Rt△ABF中，AB²=（AE+EF）²+BF²=6+，
∴S_{正方形ABCD}=6+．
點評：本題考查了正方形的性質、勾股定理等相關的知識，特別是在求正方形的面積時候，沒有盲目的求邊長，而是直接求得正方形邊長的平方．