Question

已知：AB∥CD，AD與BC交于點M，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．
（1）如圖1，當∠ABC=40°，∠ADC=60°時，求∠E的度數；
（2）如圖2，當AD⊥BC時，求∠E的度數；
（3）當∠AMB=α°時，直接寫出∠E的度數（用含α的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）過E作EF∥AB，根據平行線的性質可得∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，然后根據角平分線的性質可求得∠E的度數；
（2）過E作EF∥AB，首先根據垂直和平行線的性質可得∠ABC+∠ADC=90°，然后根據角平分線的性質可得∠E=

1

2

（∠ABC+∠ADC），即可求解；
（3）結合（1）（2），可得∠BED=

1

2

（∠ABC+∠ADC），即可求解．

解答：解：（1）過E作EF∥AB，
∵CD∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE=

1

2

∠ABC=

1

2

×40°=20°，
∠CDE=

1

2

∠BCD=

1

2

×60°=30°，
∴∠ABE=∠BEF=20°，∠CDE=∠DEF=30°，
則∠BED=∠BEF+∠DEF=50°；
（2）過E作EF∥AB，
∵CD∥AB，
∴EF∥CD，
∴AD⊥BC，
∴∠AMB=90°，
∴∠ABC+∠BAD=90°，
∵AB∥CD，
∴∠BAD=∠ADC，
∴∠ABC+∠ADC=90°，
∴∠BED=∠ABE+∠EDC=

1

2

∠ABC+

1

2

∠ADC=

1

2

×90°=45°；
（3）∵∠AMB=α，
∴∠ABC+∠BAD=180°-α，
∵AB∥CD，
∴∠BAD=∠ADC，
∴∠ABC+∠ADC=180°-α，
∵EF∥AB∥CD，
∴∠BED=

1

2

（180°-α）=90°-

1

2

α．

點評：本題考查了平行線的性質，解答本題的關鍵是作出輔助線，要求同學們掌握平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等．