Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣asinx﹣1，a∈R．
（1）若a=1，求f（x）在x=0處的切線方程；
（2）若f（x）≥0在區間[0，1）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： a=1時，f（x）=ex﹣sinx﹣1，f′（x）=ex﹣cosx，

∴f′（0）=e0﹣cos0=0，且f（0）=e0﹣sin0﹣1=0，

∴f（x）在x=0處的切線方程為：y=0

（2）f（x）≥0在區間[0，1）恒成立asinx≤ex﹣1在區間[0，1）恒成立．

①當x=0時，a∈R，

②當x∈（0，1）時，原不等式等價于a ，

令h（x）= ，x∈（0，1）

h′（x）= ，

令G（x）=exsinx﹣excosx+cosx，（x∈（0，1））

G′（x）=（2ex﹣1）sinx≥0，在x∈（0，1）恒成立．

∴G（x）=exsinx﹣excosx+cosx，（x∈（0，1））單調遞增，而G（0）=0．

故G（x）≥0在（0，1）上恒成立，∴h′（x）≥在（0，1）上恒成立．

h（x）在（0，1）上遞增，

x→0時，sinx→0，ex﹣1→0，

由洛必達法則得 = = ，

即a≤1，

綜上，a的取值范圍為（﹣∞，1]

【解析】（1）利用導數的幾何意義，求出切線的斜率、切點，由點斜式寫出方程．（2）f（x）≥0在區間[0，1）恒成立asinx≤ex﹣1在區間[0，1）恒成立．①當x=0時，a∈R，②當x∈（0，1）時，原不等式等價于a ， 令h（x）= ，x∈（0，1），利用導數求出h（x）在（0，1）上遞增，由洛必達法則得 = = ，即可求得a的取值范圍
【考點精析】關于本題考查的函數的最大(小)值與導數，需要了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．