Question

已知拋物線y=x²與動直線y=（2t-1）x-c有兩個不同的公共點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且

x

2 1

+

x

2 2

=2t2+2t+3．
（1）求實數t的取值范圍；
（2）當t為何值時，c取到最小值，并求出c的最小值．

Answer 1

分析：（1）將拋物線解析式與直線解析式聯立組成方程組，消去y得到關于x的方程，根據兩函數圖象有兩個不同的交點，得到根的判別式大于0，列出關于t的不等式，再利用根與系數的關系表示出兩根之和與兩根之積，將已知等式變形后用t表示出c，代入不等式中得到關于t的一元一次不等式，求出不等式的解集即可得到t的范圍；
（2）由表示出的c，利用二次函數的性質即可求出c的最小值，以及此時t的值．

解答：解：（1）聯立得：

y=x2 y=(2t-1)x-c

，
消去y得：x²-（2t-1）x+c=0，
根據題意得：△=（2t-1）²-4c＞0①，x₁+x₂=2t-1，x₁x₂=c，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（2t-1）²-2c=2t²+2t+3，
整理得：c=t²-3t-1，
代入①得：（2t-1）²-4（t²-3t-1）＞0，
整理得：4t²-4t+1-4t²+12t+4＞0，即8t＞-5，
解得：t＞-

5

8

；
（2）∵c=t²-3t-1=（t-

3

2

）²-

13

4

，
∴當t=

3

2

時，c取最小值，最小值為-

13

4

．

點評：此題屬于二次函數綜合題，涉及的知識有：根的判別式，兩函數的交點坐標，根與系數的關系，一元一次不等式的解法，以及二次函數的性質，熟練掌握根與系數的關系是解本題的關鍵．