Question

已知拋物線y=x²與動直線y=（2t-1）x-c有公共點（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁²+x₂²=t²+2t-3．
（1）求實數t的取值范圍；
（2）當t為何值時，c取到最小值，并求出c的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線的圖象性質可以知道拋物線y=x²的圖象開口向上最低點為原點，它與直線有交點則可以聯立求解方程有兩個實數根，便可一切定出t的取值范圍．
（2）有（1）中可知c可以用含有t的代數式來表示，利用二次函數求最值的相關知識求解．

解答：解：（1）聯立y=x²與y=（2t-1）x-c，
消去y得二次方程x²-（2t-1）x+c=0①
有實數根x₁，x₂，則x₁+x₂=2t-1，x₁x₂=c．
所以c=x1x2=

1

2

[(x1+x2)2-(

x

2 1

+

x

2 2

)]
=

1

2

[(2t-1)2-(t2+2t-3)]=

1

2

(3t2-6t+4)②
把②式代入方程①得x2-(2t-1)x+

1

2

(3t2-6t+4)=0③
t的取值應滿足t²+2t-3=x₁²+x₂²≥0，④
且使方程③有實數根，即△=（2t-1）²-2（3t²-6t+4）=-2t²+8t-7≥0，⑤
解不等式④得t≤-3或t≥1，
解不等式⑤得2-

2

2

≤t≤2+

2

2

．
所以，t的取值范圍為2-

2

2

≤t≤2+

2

2

（t≠

1

2

）⑥

（2）由②式知c=

1

2

(3t2-6t+4)=

3

2

(t-1)2+

1

2

．
由于c=

3

2

(t-1)2+

1

2

在2-

2

2

≤t≤2+

2

2

時是遞增的，
所以，當t=2-

2

2

時，cmin=

3

2

(2-

2

2

-1)2+

1

2

=

11-6 2

4

．
答：當t=2-

2

2

時，c有最小值：cmin=

3

2

(2-

2

2

-1)2+

1

2

=

11-6 2

4

．

點評：本題主要考查了二次函數的圖象性質，以及二次函數求最值的相關知識．