Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，點D是線段BC的中點，∠EDF=120°，DE與線段AB相交于點E，DF與線段AC（或AC的延長線）相交于點F．

（1）如圖，若DF⊥AC，垂足為F，證明：DE=DF

（2）如圖，將（1）中的∠EDF繞點D順時針旋轉一定的角度，DF仍與線段AC相交于點F．DE=DF仍然成立嗎？說明理由。

（3）將∠EDF繼續繞點D順時針旋轉一定的角度，使DF與線段AC的延長線相交于點F，DE=DF仍然成立嗎？ 直接說出結論，不必說明理由。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）成立 （3）成立

【解析】

（1）證明△ABC是等邊三角形,得∠B=∠C,BD=CD,進而證明△BED≌△CFD（ASA）,即可證明DE=DF.

（2）取AC中點G,連接DG,證明△EDG≌△FDC（ASA）,即可證明結論仍成立.

（3）過點D作DN⊥AC于N,DM⊥AB于M,得∠NDF=∠MDE,證明△DME≌△DNF（ASA）即可證明結論仍成立.

解：（1）∵AB=AC，∠A=60°，

∴△ABC是等邊三角形,即∠B=∠C=60°,

∵D是BC的中點,

∴BD=CD,

∵∠EDF=120°，DF⊥AC，

∴∠FDC=30°,

∴∠EDB=30°，

∴△BED≌△CFD（ASA）,

∴DE=DF.

（2）取AC中點G,連接DG,如下圖,

∵D為BC的中點,

∴DG=AC=BD=CD,

∴△BDG是等邊三角形,

∴∠GDE+∠EDB=60°,

∵∠EDF=120°,

∴∠FDC+∠EDB=60°,

∴∠EDG=∠FDC,

∴△EDG≌△FDC（ASA）,

∴DE=DF.

∴結論仍然成立.

（3）如下圖,過點D作DN⊥AC于N,DM⊥AB于M,

∴∠DME=∠DNF=90°,

由（1）可知∠B=∠C=60°,

∴∠NDC=∠BDM=30°,DM=DN,

∴∠MDN=120°,即∠NDF=∠MDE,

∴△DME≌△DNF（ASA）,

∴DE=DF,

∴仍然成立.