Question

如圖，在一塊三角形區域ABC中，∠C=90°，邊AC=8m，BC=6m，現要在△ABC內建造一個矩形水池DEFG，如圖的設計方案是使DE在AB上．
（1）求△ABC中AB邊上的高h；
（2）設DG=x，當x取何值時，水池DEFG的面積（S）最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據勾股定理易求AB的長，運用等積法求高；
（2）S=GD•GF=x•GF，利用△CGF∽△CAB，用含x的式子表示GF，從而得函數表達式，運用函數性質求解．
解答：解：（1）如圖，作CH⊥AB于點H，交FG于點K．
由∠C=90°AC=8，BC=6，易得AB=10．
∵S_△ABC=AB•CH，
∴h=CH=．

（2）如圖，設DE=GF=y，
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，由此可得．
∴
∴
=
=．
∵，
∴當x=2.4時，S有最大值12．
答：當x取2.4m時，水池DEFG的面積（S）最大，且S=12m²．
（其它證法合理參照給分）
點評：此題的關鍵是用含x的式子表示矩形的長，涉及相似形的性質．運用二次函數的性質求最值常用配方法或公式法．