Question

在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一點，BE=CD，EF∥AD交AB于F點，交CA的延長線于P，CH∥AB交AD的延長線于點H，
①求證：△APF是等腰三角形；     
②猜想AB與PC的大小有什么關系？證明你的猜想．

Answer 1

分析：①根據題意作出圖形，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠1=∠4，同位角相等可得∠2=∠P，再根據角平分線的定義可得∠1=∠2，然后求出∠4=∠P，根據等角對等邊的性質即可得證；
②根據兩直線平行，內錯角相等可得∠5=∠B，再求出∠H=∠1=∠3，然后利用“AAS”證明△BEF和△CDH全等，根據全等三角形對應邊相等可得BF=CH，再求出AC=CH，再根據AB=AF+BF，PC=AP+AC，整理即可得解．

解答：①證明：∵EF∥AD，
∴∠1=∠4，∠2=∠P，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠4=∠P，
∴AF=AP，
即△APF是等腰三角形；

②AB=PC．理由如下：
證明：∵CH∥AB，
∴∠5=∠B，∠H=∠1，
∵EF∥AD，
∴∠1=∠3，
∴∠H=∠3，
在△BEF和△CDH中，
∵

∠5=∠B ∠H=∠3 BE=CD

，
∴△BEF≌△CDH（AAS），
∴BF=CH，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠H，
∴AC=CH，
∴AC=BF，
∵AB=AF+BF，PC=AP+AC，
∴AB=PC．

點評：本題考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定與性質，以及平行線的性質，題目較為復雜，熟記性質與判定是解題的關鍵，作出圖形更形象直觀．