Question

如圖，已知⊙M和⊙N相交于點A、B，過點B作CD⊥AB，分別交⊙M和⊙N于C、D，過點B任作一直線分別交⊙M和⊙N于E、F．
（1）求證：△AEF∽△ACD；
（2）證明AC、AD分別是⊙M和⊙N的直徑；
（3）你認為AE與AF的比值是一個常數嗎？是，請證明它；不是，請說出理由．

Answer 1

（1）證明：∵∠E=∠C，∠F=∠D，（在同圓中，同弧上的圓周角相等），
∴△AEF∽△ACD．（有兩組對應角分別相等的兩個三角形相似）；

（2）證明：∵CD⊥AB，
∴∠CBA=∠DBA=90°，（垂直定義）
∴AC和AD各是⊙M和⊙N的直徑．（ 90°的圓周角所對的弦是圓的直徑）；

（3）解：AE與AF的比值是一個常數．
∵△AEF∽△ACD，（已證）
AC和AD各是⊙M和⊙N的直徑，（已證）
∴=，（相似三角形的對應邊成比例）
∴=．
分析：（1）根據圓周角定理得出∠E=∠C，∠F=∠D，即可得出△AEF∽△ACD；
（2）根據已知得出∠CBA=∠DBA=90°，進而求出AC和AD各是⊙M和⊙N的直徑；
（3）根據△AEF∽△ACD，得出=，即可得出AE與AF的比值是一個常數．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及圓周角定理等知識，根據已知得出△AEF∽△ACD是解題關鍵．