Question

20、如圖，已知△ABC和△DEF，∠A=∠D=90°，且△ABC與△DEF不相似，問是否存在某種直線分割，使△ABC所分割成的兩個三角形與△DEF所分割成的兩個三角形分別對應相似？
（1）如果存在，請你設計出分割方案，并給出證明；如果不存在，請簡要說明理由；
（2）這樣的分割是唯一的嗎？若還有，請再設計出一種．

Answer 1

分析：（1）作∠BCH=∠E，∠EFG=∠B，根據兩組角對應相等兩三角形相似可以得到分成的一對三角形相似，又∠AHC=∠B+∠BCH，∠DGF=∠E+∠EFG，所以∠AHC=∠DGF，又∠A=∠D，所以△ACH∽△DFG．
（2）不唯一，作∠CBM=∠F，∠FEN=∠C即可．

解答：解：（1）能．（2分）
由題意，∠B+∠ACB=∠E+∠DFE，∠B≠∠E、∠B≠∠DFE，（4分）
設∠B＜∠DFE，
作∠EFG=∠B，G在DE上，（5分）
作∠BCH=∠E，H在AB上（如圖），（6分）
可得，△HBC∽△GFE；
∵∠AHC=∠B+∠BCH，∠DGF=∠E+∠EFG，
∴∠AHC=∠DGF，
又∠A=∠D，
∴△AHC∽△DGF．（8分）
（2）不唯一，作∠CBM=∠F，∠FEN=∠C即可．
此時△BCM∽△FEN，△ABM∽△DEN．

點評：本題關鍵在于先分割出兩組角對應相等，得到一對相似三角形，再根據三角形的外角性質得到一對相等的角，從而證明另一對三角形也相似．