Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于點E，點D在AB邊上且DE⊥BE．
（1）判斷直線AC與△DBE外接圓的位置關系，并說明理由；
（2）若AD=6，AE=6，求BC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）取BD的中點O，連接OE，證明∠OEB=∠CBE后可得OE⊥AC；
（2）設OD=OE=OB=x，利用勾股定理求出x的值，再證明△AOE∽△ABC，利用線段比求解．
解答：解：（1）直線AC與△DBE外接圓相切．
理由：∵DE⊥BE
∴BD為△DBE外接圓的直徑
取BD的中點O（即△DBE外接圓的圓心），連接OE
∴OE=OB
∴∠OEB=∠OBE
∵BE平分∠ABC
∴∠OBE=∠CBE
∴∠OEB=∠CBE
∵∠CBE+∠CEB=90°
∴∠OEB+∠CEB=90°，即OE⊥AC
∴直線AC與△DBE外接圓相切；

（2）設OD=OE=OB=x
∵OE⊥AC
∴（x+6）²-（6）²=x²
∴x=3
∴AB=AD+OD+OB=12
∵OE⊥AC
∴△AOE∽△ABC
∴
即
∴BC=4．
點評：本題考查了切線的判定以及勾股定理的有關知識．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．