Question

（附加題）（1）對(duì)于任意給定的一個(gè)矩形C，是否存在另一個(gè)矩形，使它的周長和面積都是矩形C的2倍？請(qǐng)說明你的理由；
（2）當(dāng)實(shí)數(shù)m為什么值，對(duì)于任何一個(gè)矩形C，都存在另一個(gè)矩形，它的周長與面積都是矩形C的m倍？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由題意可知：分別設(shè)出已知矩形和所求矩形的長與寬，再根據(jù)周長和面積的關(guān)系可以列出兩個(gè)關(guān)系式，觀察兩個(gè)關(guān)系式可得一個(gè)根為xy的一元二次方程，再根據(jù)判別式可以確定方程是否有解，進(jìn)而確定所求矩形是否存在；
（2）方法與（1）一樣．

解答：解：（1）設(shè)已知矩形的長與寬分別為a，b，所求矩形為x，y．
則

x+y=2(a+b) xy=2ab

∴x，y是方程t²-2（a+b）t+2ab=0的兩實(shí)根．
∵△=4（a+b）²-8ab=4（a²+b²）＞0，∴方程有解．
所以，對(duì)于長與寬分別為a，b矩形，存在周長與面積都是已知矩形的2倍的矩形；

（2）設(shè)已知矩形的長與寬分別為a，b，所求矩形為x，y．
則

x+y=m(a+b) xy=mab

∴x，y是方程t²-m（a+b）t+mab=0的兩實(shí)根．
當(dāng)△=[m（a+b）]²-4mab≥0，即m≥

4ab

(a+b)2

時(shí)，方程有解．
所以，對(duì)于長與寬分別為a，b的矩形，當(dāng)m≥

4ab

(a+b)2

時(shí)，存在周長與面積都是已知矩形的m倍的矩形．
∵（a-b）²≥0，
∴a²+b²≥2ab，a²+b²+2ab≥4ab，
即（a+b）²≥4ab，

4ab

(a+b)2

≤1，
∴

4ab

(a+b)2

的最大值為1．
∴當(dāng)m≥1時(shí)，所有的矩形都有周長與面積同時(shí)擴(kuò)大m倍的矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用．