Question

（2004•溫州）（附加題）（1）對于任意給定的一個矩形C，是否存在另一個矩形，使它的周長和面積都是矩形C的2倍？請說明你的理由；
（2）當實數m為什么值，對于任何一個矩形C，都存在另一個矩形，它的周長與面積都是矩形C的m倍？證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知：分別設出已知矩形和所求矩形的長與寬，再根據周長和面積的關系可以列出兩個關系式，觀察兩個關系式可得一個根為xy的一元二次方程，再根據判別式可以確定方程是否有解，進而確定所求矩形是否存在；
（2）方法與（1）一樣．
解答：解：（1）設已知矩形的長與寬分別為a，b，所求矩形為x，y．
則
∴x，y是方程t²-2（a+b）t+2ab=0的兩實根．
∵△=4（a+b）²-8ab=4（a²+b²）＞0，∴方程有解．
所以，對于長與寬分別為a，b矩形，存在周長與面積都是已知矩形的2倍的矩形；

（2）設已知矩形的長與寬分別為a，b，所求矩形為x，y．
則
∴x，y是方程t²-m（a+b）t+mab=0的兩實根．
當△=[m（a+b）]²-4mab≥0，即m≥時，方程有解．
所以，對于長與寬分別為a，b的矩形，當m≥時，存在周長與面積都是已知矩形的m倍的矩形．
∵（a-b）²≥0，
∴a²+b²≥2ab，a²+b²+2ab≥4ab，
即（a+b）²≥4ab，≤1，
∴的最大值為1．
∴當m≥1時，所有的矩形都有周長與面積同時擴大m倍的矩形．
點評：本題考查了一元二次方程根的判別式的應用．