Question

如圖所示，點O是AD、BC的交點，點E是AB的中點．分別將“∠BAC=∠ABD”記為①，“AC=BD”記為②，“OE⊥AB”記為③，要求同學從這三個等式中選出兩個作為條件，一個作為結論．（在橫線上填上序號）
（1）寫出一個真命題：如果______，那么______．并證明這個真命題
（2）寫出一個真命題：如果______，那么______．

Answer 1

解：（1）如果∠BAC=∠ABD，OE⊥AB，那么AC=BD．
證明：∵點E是AB的中點，且OE⊥AB，
∴AE=BE，OA=OB，∠OAB=∠OBA，
又∵∠BAC=∠ABD，
∴∠OAC=∠OBD，
又∵∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD．

（2）如果AC=BD，∠BAC=∠ABD，那么OE⊥AB．
證明：∵AC=BD，∠BAC=∠ABD，且AB=BA，
∴△ABC≌△BAD，
∴∠ABC=∠BAD，
∴OA=OB，
又∵點E是AB的中點，
∴OE⊥AB．
分析：三角形全等條件中必須是三個元素，并且一定有一組對應邊相等．故（1）可選如果∠BAC=∠ABD，OE⊥AB，那么AC=BD．由已知可證∠OAC=∠OBD，∠AOC=∠BOD，OA=OB，根據三角形全等的判定定理ASA證得△AOC≌△BOD，即證AC=BD．
故（2）可選如果AC=BD，∠BAC=∠ABD，那么OE⊥AB．由已知AC=BD，∠BAC=∠ABD，且AB=BA，
根據三角形全等的判定定理SAS可證△ABC≌△BAD，得到∠ABC=∠BAD，即△AOB是等腰三角形，又已知點E是AB的中點，故OE⊥AB．
點評：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．