Question

【題目】小燁在探究數軸上兩點間距離時發現：若兩點在軸上或與軸平行，兩點的橫坐標分別為，則兩點間距離為；若兩點在軸上或與軸平行，兩點的縱坐標分別為，則兩點間距離為.據此，小燁猜想：對于平面內任意兩點，兩點間的距離為.

（1）請你利用下圖，試證明：；

（2）若，試在軸上求一點，使的距離最短，并求出的最小值和點坐標．

Answer 1

【答案】（1） （2）點坐標為

【解析】分析：（1）直接利用兩點之間距離公式直接證明即可；

（2）利用軸對稱求最短路線方法得出M點位置，進而求出|MA|+|MB|的最小值.

（1）證明：如圖所示，

從、分別向軸和軸作垂線

和 ，垂足分別為、

、、，

其中直線和相交于點．

在中，

∵ ,

．

∴ ．

∴

（2）作點關于軸的對稱點，連接，與兩點間的距離即為所求的最小值，直線與軸的交點為所求的點

∴＝

設直線的解析式為，則依題意得

解得：

∴直線的解析式為，

令得：

∴ 的最小值為5，點坐標為.