Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點在坐標軸上，A，B，C三點的坐標分別為 (0，2)，(1，0)，(0，-0．5)，D為線段AB上-個動點(不與點A，B重合)，過B，D，0三點的圓與直線BC交于點E，當△OED面積取得最小值時，ED的長為________．

Answer 1

【答案】1

【解析】

如圖，先證明△AOB∽△BOC得到∠1=∠2，再判斷∠DBE=90°，利用圓周角定理可得到DE為過B，D，O三點的圓的直徑，從而得到∠DOE=90°，接著證明△AOD∽△BOE，利用相似比得到OD=2OE，根據三角形面積公式得到S△ODE=OE2，利用垂線段最短判斷當△OED面積取得最小值時，OE⊥CB，然后計算OE、OD，最后利用勾股定理計算對應的DE長．

如圖，

∵A，B，C三點的坐標分別為（0，2），（1，0），（0，-0.5），
∴OA=2，OB=1，OC=，

∵=2，

而∠AOB=∠BOC，

∴△AOB∽△BOC，

∴∠1=∠2，

∴∠ABC=∠2+∠5=∠1+∠5=90°，

∵∠DBE=90°，

∴DE為過B，D，O三點的圓的直徑，

∴∠DOE=90°，

∵∠3+∠BOD=∠4+∠BOD=90°，

∴∠3=∠4，

∵∠1=∠2，

∴△AOD∽△BOE，

∴，即OD=2OE，

∵S△ODE=ODOE=2OEOE=OE2，

當△OED面積取得最小值時，OE最小，此時OE⊥CB，

∵BC=，

∴OE==，

此時OD=2OE=，

∴DE=，

即當△OED面積取得最小值時，ED的長為1．
故答案為1．