Question

如圖，點E是正方形ABCD的邊BC上的一點，將正方形進行翻折，使點A與點E重合．
（1）在圖中作出折痕MN（要求尺規作圖并保留作圖痕跡，不要求寫作法）；
（2）設M在CD上，N在AB上．若tan∠AEN=

1

3

，DC+CE=10，求△NAE的面積．

Answer 1

分析：（1）連接AE，作AE的垂直平分線交CD于M，交AB于N，則MN為所求的折痕；
（2）連接NE，設MN于AEJ交于點G，要求△ANE的面積，就要求出這個三角形的底和高，由已知條件tan∠AEN的值，DC+CE=10，又因為∠AEN=∠EAN，所以可以先設BE=a，從而求出AB=3a，CE=2a進而求出a的值，進而求出BE，AB，CD的值，再利用勾股定理求出AN的值，利用三角形的面積公式即可求出△NAE的面積．

解答：解：（1）如圖所示：

（2）由折疊可知：MN為AE的垂直平分線，
∴AN=EN，
∴∠EAN=∠AEN（等角對等邊），
∴tan∠AEN=tan∠EAN=

1

3

，
∴設BE=a，AB=3a，則CE=2a，
∵DC+CE=10，
∴3a+2a=10，
∴a=2，
∴BE=2，AB=6，CE=4，
∵AE=

4+36

=2

10

，
又∵

NG

AG

=

1

3

，
∴NG=

10

3

，
∴AN=

( 10 )2+( 10 3 )2

=

10

3

，
∴AN=NE=

10

3

，
∴S_△ANE=

1

2

×

10

3

×2=

10

3

．

點評：此圖形較為復雜，要做好此題，首先要理清圖中邊角的關系，另外此題假設BE=a也是一個關鍵，考查解直角三角形的定義，由直角三角形已知元素求未知元素的過程，只要理解直角三角形中邊角之間的關系即可求解．