Question

如圖，已知拋物線經過A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三點，其頂點為D，對稱軸是直線l，l與x軸交于點H．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若點P是該拋物線對稱軸l上的一個動點，求△PBC周長的最小值；

（3）如圖（2），若E是線段AD上的一個動點（ E與A、D不重合），過E點作平行于y軸的直線交拋物線于點F，交x軸于點G，設點E的橫坐標為m，△ADF的面積為S．

①求S與m的函數關系式；

②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時點E的坐標； 若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵拋物線經過A（－3，0），B（1，0），

                 ∴可設拋物線交點式為。

                 又∵拋物線經過C（0，3），∴。

∴拋物線的解析式為：，即。

（2）∵△PBC的周長為：PB+PC+BC，且BC是定值。

∴當PB+PC最小時，△PBC的周長最小。

∵點A、點B關于對稱軸I對稱，

∴連接AC交l于點P，即點P為所求的點。

∵AP=BP，∴△PBC的周長最小是：PB+PC+BC=AC+BC。

∵A（－3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3，BC=。

∴△PBC的周長最小是：。

（3）①∵拋物線頂點D的坐標為（﹣1，4），A（﹣3，0），

∴直線AD的解析式為y=2x+6

∵點E的橫坐標為m，∴E（m，2m+6），F（m，）

∴。

∴。

∴S與m的函數關系式為。

②，

∴當m=﹣2時，S最大，最大值為1，此時點E的坐標為（﹣2，2）。

【解析】（1）根據函數圖象經過的三點，用待定系數法確定二次函數的解析式即可。

（2）根據BC是定值，得到當PB+PC最小時，△PBC的周長最小，根據點的坐標求得相應線段的長即可。

（3）設點E的橫坐標為m，表示出E（m，2m+6），F（m，），最后表示出EF的長，從而表示出S于m的函數關系，然后求二次函數的最值即可。