Question

如圖，已知拋物線經過原點O和x軸上另一點A，它的對稱軸x=-2與x軸交于點C，直線y=-2x+1經過拋物線上一點B（2，m），且與y軸．直線x=-2分別交于點D、E．
（1）求m的值及該拋物線對應的函數關系式；
（2）①判斷△CBE的形狀，并說明理由；②判斷CD與BE的位置關系；
（3）若P（x，y）是該拋物線上的一個動點，是否存在這樣的點P，使得PB=PE？若存在，試求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的對稱軸為x=-2，且過O、A兩點，因此A點的坐標為（-2，0）．可用交點式二次函數通式來設拋物線的解析式，然后根據直線y=-2x+1求出B點的坐標，將B點的坐標代入拋物線中即可求出二次函數的解析式．
（2）①可根據拋物線的解析式求出D，E點的坐標，進而可求出△CBE三邊的長，可據此來進行判斷△CBE的形狀．
②應該是CD⊥EB，可過E、B作y軸的垂線通過證三角形全等來得出D是BE中點，然后根據等腰三角形三線合一的特點來得出CD⊥EB的結論．
（3）由題意可知：P點必為線段BE垂直平分線與拋物線的交點，可先求出線段BE的垂直平分線，然后聯立拋物線的解析式，即可求出符合條件的P點的坐標．

解答：解：（1）∵點B（2，m）在直線y=-2x+1上，
∴m=-2×2+1=-3，
∴B（2，-3）
∵拋物線經過原點O和點A，對稱軸為x=-2，
∴點A的坐標為（-4，0）
設所求的拋物線對應函數關系式為y=a（x-0）（x+4），將點B（2，-3）代入上式，
得-3=a（2-0）（2+4），
∴a=-

1

4

，
∴所求的拋物線對應的函數關系式為y=-

1

4

（x+4），
即y=-

1

4

x²-x．

（2）①△CBE為等腰三角形
∵直線y=-2x+1與y軸、直線x=-2的交點坐標分別為D（0，1），E（-2，5）、過點B作BG∥x軸，與y軸交于F、直線x=-2交于G，
∴BG⊥直線x=-2，BG=4、
在Rt△BGC中，BC=

CG2+BG2

=5．
∵CE=5，
∴CB=CE=5，
∴△CBE為等腰三角形．
②CD⊥BE
過點E作EH∥x軸，交y軸于H，則點H的坐標為H（0，5），
又∵點F、D的坐標為F（0，-3）、D（0，1），
∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°
∴△DFB≌△DHE（SAS），
∴BD=DE，即D是BE的中點，
∴CD⊥BE

（3）存在
∵PB=PE，
∴點P在直線CD上，
∴符合條件的點P是直線CD與該拋物線的交點
設直線CD對應的函數關系式為y=kx+b，將D（0，1）C（-2，0）代入，
得

b=1 -2k+b=0

．
解得k=

1

2

，b=1
∴直線CD對應的函數關系式為y=

1

2

x+1，
∵動點P的坐標為（x，-

1

4

x2-x），
∴

1

2

x+1=-

1

4

x²-x
解得x₁=-3+

5

，x₂=-3-

5

，
∴y₁=

-1+ 5

2

，y₂=

-1- 5

2

．
∴符合條件的點P的坐標為（-3+

5

，

-1+ 5

2

）或（-3-

5

，

-1- 5

2

）．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、三角形全等、等腰三角形的判定和性質等重要知識點，綜合性強，考查學生數形結合的數學思想方法．