Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，E為AD的中點，DF⊥BE，垂足為F，CF交AD于點G．
求證：（1）∠CFD=∠CAD；
（2）EG＜EF．

Answer 1

分析：（1）連接AF，并延長交BC于N，根據相似三角形的判定定理證△BDF∽△DEF，推出，

DC

DF

=

AE

EF

，再證△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，證出A、F、D、C四點共圓即可；
（2）根據已知推出∠EFG=∠ABD，證F、N、D、G四點共圓，推出∠EGF=∠AND，根據三角形的外角性質推出∠EGF＞∠EFG即可．

解答：（1）證明：連接AF，并延長交BC于N，
∵AD⊥BC，DF⊥BE，
∴∠DFE=∠ADB，
∴∠BDF=∠DEF，
∵BD=DC，DE=AE，
∵∠BDF=∠DEF，∠EFD=∠BFD=90°，
∴△BDF∽△DEF，
∴

BD

DF

=

DE

EF

，
則

DC

DF

=

AE

EF

，
∵∠AEF=∠CDF，
∴△CDF∽△AEF，
∴∠CFD=∠AFE，
∴∠CFD+∠AEF=90°，
∴∠AFE+∠CFE=90°，
∴∠ADC=∠AFC=90°，
∴A、F、D、C四點共圓，
∴∠CFD=∠CAD．

（2）證明：∵∠BAD+∠ABD=90°，∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD，
∴∠EFG=∠ABD，
∵CF⊥AD，AD⊥BC，
∴F、N、D、G四點共圓，
∴∠EGF=∠AND，
∵∠AND＞∠ABD，∠EFG=∠ABD，
∴∠EGF＞∠EFG，
∴DF＜EF．

點評：本題綜合考查了相似三角形的性質和判定，四點共圓等知識點，此題難度較大，對學生提出了較高的要求，但題型較好．