Question

如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知折痕AE=5cm，且tan∠EFC=．
（1）△AFB與△FEC有什么關系？試證明你的結論．
（2）求矩形ABCD的周長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由矩形的性質與折疊的性質，易證得∠B=∠C=90°，∠BAF=∠EFC，繼而證得△AFB∽△FEC；
（2）設EC=3xcm，FC=4xcm，繼而求得AF=5xcm，則可求得x的值，繼而求得答案．
解答：解：（1）△AFB∽△FEC．
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
由折疊的性質可得：∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFB+∠CFE=90°，
∴∠BAF=∠CFE，
∴△AFB∽△FEC；

（2）∵tan∠EFC=，
∴在Rt△EFC中，=，
設EC=3xcm，FC=4xcm，
∴EF==5x（cm），
由折疊的性質可得：DE=EF=5xcm，
∴AB=CD=DE+CE=8x（cm），
∵∠BAF=∠EFC，
∴tan∠BAF==，
∴BF=6xcm，
∴AF==10x（cm），
∴AE==5x（cm），
∵AE=5cm，
∴x=1，
∴AD=BC=AF=10x=10（cm），AB=CD=8x=8（cm），
∴矩形ABCD的周長為：10+10+8+8=36（cm）．
點評：此題考查了矩形的性質、勾股定理以及折疊的性質．此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意數形結合思想的應用．