Question

【題目】如圖1，點(diǎn)是正方形邊上任意一點(diǎn)，以為邊作正方形，連接，點(diǎn)是線(xiàn)段中點(diǎn)，射線(xiàn)與交于點(diǎn)，連接．

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．

（2）把圖1中的正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，此時(shí)點(diǎn)恰好落在線(xiàn)段上，如圖2，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）把圖1中的正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，此時(shí)點(diǎn)、恰好分別落在線(xiàn)段、 上，連接，如圖3，其他條件不變，若，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

(1)證明ΔFME≌ΔAMH，得到HM=EM，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論. （2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到點(diǎn)A、E、C在同一條直線(xiàn)上,利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半可知. （3）如圖3中，連接EC，EM，由（1）（2）可知，△CME是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．

解：（1）結(jié)論：CM＝ME，CM⊥EM．

理由：∵AD∥EF，AD∥BC，

∴BC∥EF，

∴∠EFM＝∠HBM，

在△FME和△BMH中，

∴△FME≌△BMH（ASA），

∴HM＝EM，EF＝BH，

∵CD＝BC，

∴CE＝CH，∵∠HCE＝90°，HM＝EM，

∴CM＝ME，CM⊥EM．

（2）如圖2，連接，

∵四邊形和四邊形是正方形，

∴

∴點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，

∵，為的中點(diǎn)，

∴，，∴，

∵，∴，

∵，

∴

∴，

∴，

∴．

（3）如圖3中，連接EC，EM．

由（1）（2）可知，△CME是等腰直角三角形，

∵

∴CM＝EM＝