Question

如圖,在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，且OD∥AB，OE∥AC．

（1）試判定△ODE的形狀,并說明你的理由．

（2）線段BD、DE、EC三者有什么關系？寫出你理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）△ODE是等邊三角形,證明見解析; （2）BD=DE=EC,證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）直觀上看△ODE是等邊三角形,要證明一個三角形是等邊三角形,要么證明三邊相等,或者有兩個角是60°或者有一個角是60°的等腰三角形,由題, 在等邊△ABC中，AB=AC=BC, ∠ABC=∠ACB=60°,又∵OD∥AB，所以∠ABC=∠ODE=60°,同理, ∵OE∥AC，所以∠ACB=∠OED=60°,所以△ODE是等邊三角形;（2）直觀上看BD=DE=EC,∵∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，所以∠ABO=∠OBD, ∠ACO=∠OCD,又∵OD∥AB，所以∠OBD=∠ABO=∠BOD.所以BD=OD, ∵OE∥AC，所以∠ACO=∠OCD =∠COE,所以CE=OE,由(1)知△ODE是等邊三角形,所以OD=DE=OE,即BD=DE=EC.

試題解析：（1）由題, 在等邊△ABC中，AB=AC=BC, ∠ABC=∠ACB=60°,

又∵OD∥AB，

∴∠ABC=∠ODE=60°,

同理, ∵OE∥AC，

∴∠ACB=∠OED=60°,

∴△ODE是等邊三角形.

（2）∵∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，

∴∠ABO=∠OBD, ∠ACO=∠OCD,

又∵OD∥AB，

∴∠OBD=∠ABO=∠BOD.

∴BD=OD,

∵OE∥AC，

∴∠ACO=∠OCD =∠COE,

∴CE=OE,

由(1)知△ODE是等邊三角形,

∴OD=DE=OE,即BD=DE=EC.

考點：平行線的性質和等邊三角形的判定.