Question

有兩個正整數a、b，它們的平方和為5 8 5，而最大公約數與最小公倍數的和為87．則a+b=

 

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Answer 1

分析：先設所求的正整數a＜b，并設（a，b）=d，從而得到a=dx，b=dy．且（x，y）=1，所以有[a，b]=dry，再根據題意列出關于x、y的方程組，從而解得x、y的值，然后得出a、b的值，最后算出a+b的值．

解答：解：設所求的正整數a＜b，并設（a，b）=d，
則有a=dx，b=dy．且（x，y）=1．
于是，有[a，b]=dry．
依題意得

d2x2+d2y2=585    d+dxy=87

即

x2+y2= 585 d2 1+xy= 87 d

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因為585=3²×5×13．而d2|585，所以，d=3．則x+y=11．xy=28．
解得x=4，y=7．故a=3×4=12，b=3×7=21．a+b=33．
故答案為33．

點評：本題考查了最大公約數和最小公倍數的問題，解題的關鍵是認真審題，弄清題意，此題難度較大．