Question

如圖，直線l與x軸、y軸分別交于點M（8，0），點N（0，6）．點P從點N出發，以每秒1個單位長度的速度沿N?O方向運動，點Q從點O出發，以每秒2個單位長度的速度沿O→M的方向運動．已知點P、Q同時出發，當點Q達點M時，P、Q兩點同時停止運動，設運動時間為t秒．
（1）設四邊形MNPQ的面積為S，求S關于t的函數關系式，并寫出t的取值范圍．
（2）當t為何值時，PQ與l平行．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于四邊形PQMN的形狀不確定，因此可用△OMN的面積減去△OPQ的面積來求．△OMN的面積不難求出，而△OPQ中，可根據P、Q的速度，用時間t表示出OP，PQ的長，然后根據三角形的面積計算公式即可求出△OPQ的面積．由此可得出四邊形的面積S與t的函數關系式．t的取值范圍可根據Q與O，M兩點不重合（重合時不能得出四邊形PQMN）來求出．
（2）當PQ∥MN時，△OPQ∽△ONM，那么可得出關于OP，ON，OQ，OM的比例關系式．用t表示出OP、OQ后，可根據比例關系式求出t的值．
解答：解：（1）依題意，運動總時間為t==4秒，要形成四邊形MNPQ，則運動時間為0＜t＜4．（1分）
當P點在線段NO上運動t秒時，
OP=6-t，OQ=2t
∴S_△POQ=OP•OQ=-t²+6t
此時四邊形MNPQ的面積
S=S_△MON-S_△POQ
=×8×6-（-t²+6t）
=t²-6t+24
∴S關于t的函數關系式為S=t²-6t+24．（0＜t＜4）

（2）當PQ與l平行時，△NOM∽△POQ
即
∴10t=24，即t=2.4
∴當t=2.4秒時，PQ與l平行．
點評：本題主要考查了梯形的性質，相似三角形的性質以及二次函數的應用等知識點．