Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD垂直平分OB于點E，點F在AB延長線上，∠AFC=30°．

（1）求證：CF為⊙O的切線．

（2）若半徑ON⊥AD于點M，CE=，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析: （1）由CD垂直平分OB,得到E為OB的中點,且CD與OB垂直,又OB=OC,可得OE等于OC的一半,在直角三角形OEC中,根據銳角三角函數的定義,得到sin∠ECO的值為,可得∠ECO為30°,進而得到∠EOC為60°,又∠CFO為30°,可得∠OCF為直角,由OC為圓O的半徑,可得CF為圓的切線,

（2）由（1）得出的∠COF=60°,根據對稱性可得∠EOD為60°,進而得到∠DOA=120°,由OA=OD,且OM與AD垂直,根據“三線合一”得到∠DOM為60°,在直角三角形OCE中,由CE的長及∠ECO=30°,可求出半徑OC的長,又在直角三角形OMD中,由∠MDO=30°,半徑OD=2,可求出MD及OM的長,然后利用扇形ODN的面積減去三角形ODM的面積即可求出陰影部分的面積.

試題解析:（1）證明:∵CD垂直平分OB,

∴OE=OB,∠CEO=90°,

∵OB=OC,

∴OE=OC,

在Rt△COE中,sin∠ECO==,

∴∠ECO=30°,

∴∠EOC=60°,

∵∠CFO=30°,

∴∠OCF=90°,又OC是⊙O的半徑,

∴CF是⊙O的切線,

（2）解:由（1）可得∠COF=60°,

由圓的軸對稱性可得∠EOD=60°,∴∠DOA=120°,

∵OM⊥AD,OA=OD,∴∠DOM=60°,

在Rt△COE中,CE=,∠ECO=30°,cos∠ECO=,

∴OC=2,

在Rt△ODM中,OD=2,∠ADO=30°,

∴OM=ODsin30°=1,MD=ODcos30°=,

∴S扇形OND=,

∴S△OMD=OMDM=,

∴S陰影=S扇形OND﹣S△OMD=.