Question

【題目】已知矩形中，，，點、分別在邊、上，將四邊形沿直線翻折，點、的對稱點分別記為、.

（1）當時，若點恰好落在線段上，求的長；

（2）設，若翻折后存在點落在線段上，則的取值范圍是______.

Answer 1

【答案】（1）；（2）且.

【解析】

（1）過作于，延長交于點，如圖1，易證∽，于是設，則，可得，然后在中根據勾股定理即可求出a的值，進而可得的長，設，則可用n的代數式表示，連接FB、，如圖2，根據軸對稱的性質易得，再在中，根據勾股定理即可求出n的值，于是可得結果；

（2）仿（1）題的思路，在中，利用勾股定理可得關于x和m的方程，然后利用一元二次方程的根的判別式和二次函數的知識即可求出m的范圍，再結合點的特殊位置可得m的最大值，從而可得答案.

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，過作于，延長交于點，如圖1，則AB∥CD∥QH，∴∽，∴，

設，則，∴.

在中，∵，∴，解得：或（舍去）.

∴，∴，

設，則，連接FB、，如圖2，則，

在中，由勾股定理，得：，∴，解得：，∴；

（2）如圖1，∵，∴，設，則，∴.

在中，∵，∴，

整理，得：，

若翻折后存在點落在線段上，則上述方程有實數根，即△≥0，∴，整理，得：，

由二次函數的知識可得：，或（舍去），

∵，∴，當x=m時，方程即為：，解得：，∴，

又∵當點與點C重合時，m的值達到最大，即當x=0時，，解得：m=1.

∴m的取值范圍是：且.

故答案為：且.