Question

如圖，半徑為2的⊙E交x軸于A、B，交y軸于點C、D，直線CF交x軸負半軸于點F，連接EB、EC．已知點E的坐標為（1，1），∠OFC=30°．
（1）求證：直線CF是⊙E的切線；
（2）求證：AB=CD；
（3）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先過點E作EG⊥y軸于點G，由點E的坐標為（1，1），可得EG=1．繼而可求得∠ECG的度數，又由∠OFC=30°，∠FOC=90°，可求得∠FCE=∠OCF+∠ECG=90°．
（2）首先過點E作EH⊥x軸于點H，易證得Rt△CEG≌Rt△BEH，又由EH⊥AB，EG⊥CD，則可證得AB=CD；
（3）連接OE，可求得OC=+1與∠OEB+∠OEC=210°，繼而可求得陰影部分的面積．
解答：解：（1）過點E作EG⊥y軸于點G，
∵點E的坐標為（1，1），
∴EG=1．
在Rt△CEG中，sin∠ECG==，
∴∠ECG=30°．                       
∵∠OFC=30°，∠FOC=90°，
∴∠OCF=180°-∠FOC-∠OFC=60°．   
∴∠FCE=∠OCF+∠ECG=90°．
即CF⊥CE．
∴直線CF是⊙E的切線．                

（2）過點E作EH⊥x軸于點H，
∵點E的坐標為（1，1），
∴EG=EH=1．                         
在Rt△CEG與Rt△BEH中，
∵，
∴Rt△CEG≌Rt△BEH（HL）．
∴CG=BH．                           
∵EH⊥AB，EG⊥CD，
∴AB=2BH，CD=2CG．
∴AB=CD．                           

（3）連接OE，
在Rt△CEG中，CG==，
∴OC=+1．                        
同理：OB=+1．                    
∵OG=EG，∠OGE=90°，
∴∠EOG=∠OEG=45°．
又∵∠OCE=30°，
∴∠OEC=180°-∠EOG-∠OCE=105°．
同理：∠OEB=105°．                  
∴∠OEB+∠OEC=210°．
∴S_陰影=-×（+1）×1×2=--1．
點評：此題考查了切線的判定、三角函數、勾股定理以及扇形的面積．此題難度較大，注意掌握數形結合思想的應用．