Question

如圖△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D是AB邊的中點(diǎn)，P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，Q是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P、Q的位置在何處時(shí)，才能使△DPQ的周長(zhǎng)最小？并求出這個(gè)最值．

Answer 1

分析：作出D關(guān)于BC、AC的對(duì)稱點(diǎn)D'、D''，連接D'D''，DQ，DP，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)將三角形的周長(zhǎng)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的問(wèn)題，利用等邊三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)即可解答．

解答：解：作D關(guān)于BC、AC的對(duì)稱點(diǎn)D'、D''，連接D'D''，DQ，DP．
∵DQ=D''Q，DP=D'P，
∴△DPQ的周長(zhǎng)為PQ+DQ+DP=PQ+D''Q+D'P=D'D''，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，D'D''的長(zhǎng)即為三角形周長(zhǎng)的最小值．
∵∠A=∠B=60°，∠BED=∠AFD=90°，
∴∠α=∠β=90°-60°=30°，
∠D'DD''=180°-30°-30°=120°，
∵D為AB的中點(diǎn)，
∴DF=AD•cos30°=1×

3

2

=

3

2

，AF=

1

2

，
易得△ADF≌△QD''F，
∴QF=AF=

1

2

，
∴AQ=1，BP=1，
Q、P為AC、BC的中點(diǎn)．
∴DD''=

3

2

×2=

3

，
同理，DD'=

3

2

×2=

3

，
∴△DD'D''為直角三角形，
∴∠D'=∠D''=

180°-120°

2

=30°，
∴D''D'=2DD'•cos30°=2×

3

×

3

2

=3．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了軸對(duì)稱--最短路徑問(wèn)題，涉及正三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)、三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，有一定難度．