Question

如圖△ABC是邊長為2的等邊三角形，D是AB邊的中點，P是BC邊上的動點，Q是AC邊上的動點，當P、Q的位置在何處時，才能使△DPQ的周長最小？并求出這個最值．

Answer 1

解：作D關于BC、AC的對稱點D'、D''，連接D'D''，DQ，DP．
∵DQ=D''Q，DP=D'P，
∴△DPQ的周長為PQ+DQ+DP=PQ+D''Q+D'P=D'D''，
根據兩點之間線段最短，D'D''的長即為三角形周長的最小值．
∵∠A=∠B=60°，∠BED=∠AFD=90°，
∴∠α=∠β=90°-60°=30°，
∠D'DD''=180°-30°-30°=120°，
∵D為AB的中點，
∴DF=AD•cos30°=1×=，AF=，
易得△ADF≌△QD''F，
∴QF=AF=，
∴AQ=1，BP=1，
Q、P為AC、BC的中點．
∴DD''=×2=，
同理，DD'=×2=，
∴△DD'D''為直角三角形，
∴∠D'=∠D''==30°，
∴D''D'=2DD'•cos30°=2××=3．
分析：作出D關于BC、AC的對稱點D'、D''，連接D'D''，DQ，DP，根據軸對稱的性質將三角形的周長最值問題轉化為兩點之間線段最短的問題，利用等邊三角形的性質和三角函數即可解答．
點評：此題考查了軸對稱--最短路徑問題，涉及正三角形的性質、三角函數、三角形的內角和定理、等腰三角形的性質和判定等知識，有一定難度．