Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E為BC邊的中點，∠BAE=∠EAF，AF與DC的延長線相交于點F．
（1）若∠D=90°，CD=6，AD=12，AB=18，求AE的長．
（2）求證：AB=AF+CF．

Answer 1

分析：（1）過點E作EM⊥AD，則可得EM是梯形ABCD的中位線，在RT△AEN中，利用勾股定理可求出AE的長；
（2）可延長AE、DF交于點M，不難證明△ABE≌△MCE，那么AB=CF，現在只要將AF也關聯到三角形BEC中，我們發現，∠BAE=∠EAF，∠BAE=∠M（AB∥CD），那么三角形AMF就是個等腰三角形，AF=MF，因此AB=MC=MF+FC=AF+FC．

解答：（1）解：

過點E作EN⊥AD，則EN∥AB，
∵點E是BC中點，
∴EN是梯形ABCD的中位線，
∴EN=

1

2

（CD+AB）=12，
在Rt△AEN中，AE=

EN2+AN2

=6

5

；

（2）證明：延長AE交DF的延長線于點M，

∵E為BC的中點，
∴BE=CE，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠M，
在△ABE和△MCE中，

∠AEB=∠MEC BE=CE ∠B=∠MCE

，
∴△ABE≌△MCE（ASA），
∴AB=MC，
∵∠BAE=∠EAF，
∴∠EAF=∠M．
∴MF=AF，
∵MC=MF+CF，
∴AB=AF+FC．

點評：本題主要考查了直角梯形、全等三角形的判定和性質及勾股定理的知識．解答第一問的關鍵是過點E作AD的垂線，以便構造直角三角形；解答第二問的關鍵是作輔助線判斷出△ABE≌△MCE．