Question

（2011•河東區二模）如圖，菱形OABC中，∠A=120°，OA=1，將菱形OABC繞點O按順時針方向旋轉90°，則圖中陰影部分的面積是

2

3

π-

3

2

．

Answer 1

分析：連接OB、OB′，陰影部分的面積等于扇形BOB′的面積減去兩個△OCB的面積和扇形OCA′的面積．根據旋轉角的度數可知：∠BOB′=90°，已知了∠A=120°，那么∠BOC=∠A′OB′=30°，可求得扇形A′OC的圓心角為30°，進而可根據各圖形的面積計算公式求出陰影部分的面積．

解答：解：連接OB、OB′，過點A作AN⊥BO于點N，
菱形OABC中，∠A=120°，OA=1，
∴∠AOC=60°，∠COA′=30°，
∴AN=

1

2

，
∴NO=

12-( 1 2 )2

=

3

2

，
∴BO=

3

，
∴S_△CBO=S_△C′B′O=

1

2

×

1

2

AO•2CO•sin60°=

3

4

，
S_扇形OCA′=

30π×1

360

=

π

12

，
S_扇形OBB′=

90π( 3 )2

360

=

3π

4

；
∴陰影部分的面積=

3π

4

-（2×

3

4

+

π

12

）=

2

3

π-

3

2

．
故答案為：

2

3

π-

3

2

．

點評：此題考查了菱形的性質、扇形的面積公式、等邊三角形的性質等知識點．利用已知得出S_扇形OBB′的面積以及S_△CBO，S_△C′B′O的面積是解題關鍵．