Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．
（1）如圖1，四邊形DEFG為△ABC的內接正方形，求正方形的邊長．
（2）如圖2，三角形內有并排的兩個相等的正方形，它們組成的矩形內接于△ABC，求正方形的邊長．
（3）如圖3，三角形內有并排的三個相等的正方形，它們組成的矩形內接于△ABC，求正方形的邊長．
（4）如圖4，三角形內有并排的n個相等的正方形，它們組成的矩形內接于△ABC，請寫出正方形的邊長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意畫出圖形，作CN⊥AB，再根據GF∥AB，可知△CGF∽△CAB，由平行得到兩對同位角相等，進而得到兩三角形相似，設出正方形的邊長為x，根據相似三角形的性質得到比例式，進而列出關于x的方程，求出方程的解，即可求出正方形的邊長；
（2）作CN⊥AB，交GF于點M，交AB于點N，同（1）可知，△CGF∽△CAB，根據對應邊的比等于相似比，同理可求出正方形的邊長；
（3）作CN⊥AB，交GF于點M，交AB于點N，同（1）可知，△CGF∽△CAB，根據對應邊的比等于相似比，同理可求出正方形的邊長；
（4）同理可得正方形的邊長．
解答：解：（1）在圖1中作CN⊥AB，交GF于點M，交AB于點N．
在Rt△ABC中，∵AC=4，BC=3，∴AB=5，CN=，
∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴=，
設正方形邊長為x，則 =，∴x=；

（2）在圖2中作CN⊥AB，交GF于點M，交AB于點N．
∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴=，
設每個正方形邊長為x，則 =，∴x=；
（3）在圖3中，作CN⊥AB，交GF于點M，交AB于點N，
∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴=，
設每個正方形的邊長為x，則=，∴x=；
（4）設每個正方形的邊長為x，同理得到：=，則x=．
點評：此題綜合考查了正方形、矩形、相似三角形的性質及勾股定理．要求學生掌握相似三角形的對應高之比等于相似比，注意此題雖有四問，但是方法雷同，只是比例式中GF代入的式子不同，應根據圖形正方形的個數來確定．