Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C、D為⊙O上兩點，CF⊥AB于點F，CE⊥AD的延長線于點E，且CE=CF．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若AD=CD=6，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC．根據角平分線性質定理的逆定理，得∠CAE=∠CAB．根據OC=OA，得到∠CAB=∠OCA，從而得到∠CAE=∠OCA，根據內錯角相等，兩條直線平行，得到OC∥AE，從而根據切線的判定證明結論；
（2）根據AD=CD，得到∠DAC=∠DCA=∠CAB，從而DC∥AB，得到四邊形AOCD是平行四邊形．根據平行四邊形的性質，得OC=AD=6，則AB=12．根據∠CAE=∠CAB，得到弧CD=弧CB，則△OCB是等邊三角形，根據等邊三角形的性質求得CF=3，再根據梯形的面積公式進行計算．
解答：解：（1）連接OC．
∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE=CF，
∴∠CAE=∠CAB．
∵OC=OA，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠CAE=∠OCA，
∴OC∥AE，
∴OC⊥CE，
又∵OC是⊙O的半徑，
∴CE是⊙O的切線；

（2）∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA=∠CAB，
∴DC∥AB．
∵∠CAE=∠OCA，
∴OC∥AD，
∴四邊形AOCD是平行四邊形．
∴OC=AD=6，AB=12．
∵∠CAE=∠CAB，
∴弧CD=弧CB，
∴CD=CB=6，
∴△OCB是等邊三角形，
∴，
∴S_{四邊形ABCD}=．
點評：此題綜合運用了切線的判定、角平分線性質定理的逆定理、平行線的判定和性質、圓周角定理的推論、等邊三角形的判定和性質，是一道綜合性較強的題目．