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已知:如圖,AB是⊙O的直徑,C、D為⊙O上兩點,CF⊥AB于點F,CE⊥AD的延長線于點E,且CE=CF.
(1)求證:CE是⊙O的切線;
(2)若AD=CD=6,求四邊形ABCD的面積.

【答案】分析:(1)連接OC.根據角平分線性質定理的逆定理,得∠CAE=∠CAB.根據OC=OA,得到∠CAB=∠OCA,從而得到∠CAE=∠OCA,根據內錯角相等,兩條直線平行,得到OC∥AE,從而根據切線的判定證明結論;
(2)根據AD=CD,得到∠DAC=∠DCA=∠CAB,從而DC∥AB,得到四邊形AOCD是平行四邊形.根據平行四邊形的性質,得OC=AD=6,則AB=12.根據∠CAE=∠CAB,得到弧CD=弧CB,則△OCB是等邊三角形,根據等邊三角形的性質求得CF=3,再根據梯形的面積公式進行計算.
解答:解:(1)連接OC.
∵CF⊥AB,CE⊥AD,且CE=CF,
∴∠CAE=∠CAB.
∵OC=OA,
∴∠CAB=∠OCA,
∴∠CAE=∠OCA,
∴OC∥AE,
∴OC⊥CE,
又∵OC是⊙O的半徑,
∴CE是⊙O的切線;

(2)∵AD=CD,
∴∠DAC=∠DCA=∠CAB,
∴DC∥AB.
∵∠CAE=∠OCA,
∴OC∥AD,
∴四邊形AOCD是平行四邊形.
∴OC=AD=6,AB=12.
∵∠CAE=∠CAB,
∴弧CD=弧CB,
∴CD=CB=6,
∴△OCB是等邊三角形,

∴S四邊形ABCD=
點評:此題綜合運用了切線的判定、角平分線性質定理的逆定理、平行線的判定和性質、圓周角定理的推論、等邊三角形的判定和性質,是一道綜合性較強的題目.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

22、已知:如圖,AB是⊙O的直徑,BC是和⊙O相切于點B的切線,⊙O的弦AD平行于OC.
求證:DC是⊙O的切線.

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2013•門頭溝區一模)已知:如圖,AB是⊙O的直徑,AC是⊙O的弦,M為AB上一點,過點M作DM⊥AB,交弦AC于點E,交⊙O于點F,且DC=DE.
(1)求證:DC是⊙O的切線;
(2)如果DM=15,CE=10,cos∠AEM=
513
,求⊙O半徑的長.

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科目:初中數學 來源: 題型:

(1997•昆明)已知:如圖,AB是⊙O的直徑,直線MN切⊙O于點C,AD⊥MN于D,AD交⊙O于E,AB的延長線交MN于點P.求證:AC2=AE•AP.

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2012•平谷區二模)已知,如圖,AB是⊙O的直徑,點E是
AD
的中點,連接BE交AC于點G,BG的垂直平分線CF交BG于H交AB于F點.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若AB=8,BC=6,求BE的長.

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科目:初中數學 來源: 題型:

已知:如圖,AB是⊙O的直徑,BC為⊙O的切線,過點B的弦BD⊥OC交⊙O于點D,垂足為E.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)當BC=BD,且BD=12cm時,求圖中陰影部分的面積(結果不取近似值).

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同步練習冊答案
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