Question

已知：ABCD的對角線交點為O，點E、F分別在邊AB、CD上，分別沿DE、BF折疊四邊形ABCD, A、C兩點恰好都落在O點處，且四邊形DEBF為菱形（如圖）．

 

 

⑴求證：四邊形ABCD是矩形；

⑵在四邊形ABCD中，求的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：連結OE

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴DO=OB，

∵四邊形DEBF是菱形，

∴DE=BE，

∴EO⊥BD

∴∠DOE= 90°

即∠DAE= 90°

又四邊形ABCD是平行四邊形，

∴四邊形ABCD是矩形

（2）解：∵四邊形DEBF是菱形

∴∠FDB=∠EDB

又由題意知∠EDB=∠EDA

由（1）知四邊形ABCD是矩形

∴∠ADF=90°，即∠FDB+∠EDB+∠ADE=90°

則∠ADB= 60°

∴在Rt△ADB中，有AD∶AB=1∶

即

【解析】（1）根據矩形的判定定理，先證DE=BE，再證∠DOE=90°，則可證．

（2）根據已知條件和（1）的結論，先求得AD：AB，即可得到的值．