Question

（2010•賀州）如圖，⊙P與⊙O相交于A、B兩點，⊙P經過圓心O，點C是⊙P的優弧上任意一點（不與點A、B重合），連接AB、AC、BC、OC．
（1）指出圖中與∠ACO相等的一個角；
（2）當點C在⊙P上什么位置時，直線CA與⊙O相切？請說明理由；
（3）當∠ACB=60°時，兩圓半徑有怎樣的大小關系？請說明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：要使直線CA與⊙O相切，只要證得∠OAC=90°即可；根據第二問第三問就不難求得了．
解答：解：（1）連接OA，OB．
在⊙O中，∵OA=OB，
∴=，
∴∠ACO=∠BCO；

（2）連接OP，并延長與⊙P交于點D．
若點C在點D位置時，直線CA與⊙O相切
理由：連接AD，OA，則∠DAO=90°
∴OA⊥DA
∴DA與⊙O相切
即點C在點D位置時，直線CA與⊙O相切．

（3）當∠ACB=60°時，兩圓半徑相等；
理由：作直徑OD，連接BD，AD，OA，
∵∠ADB=∠ACB=60°，PO垂直平分AB，
∴=，
∵∠ADO=∠BDO，
∴∠ADO=30°，
∵OD是直徑，
∴∠DAO=90°，
∴OA=OD，
∴OA=PO，
∴當∠ACB=60°時，兩圓半徑相等．
點評：本題考查了等弧所對的圓周角相等、直徑所對的圓周角等于90°，切線的判定等知識．具有一定的綜合性和難度．