Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，⊙O與Rt△ACD的兩直角邊分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)F是弧BE的中點(diǎn)，∠C=90°，連接AF．

（1）求證：直線(xiàn)DF是⊙O的切線(xiàn)．

（2）若BD=1，OB=2，求tan∠AFC的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）連結(jié)OF，BE，根得到BE∥CD，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠OFD=90°，根據(jù)切線(xiàn)的判定定理證明；
（2）由OF∥AC可得比例線(xiàn)段求出AC長(zhǎng)，再由勾股定理可求得DC長(zhǎng)，則能求出CF長(zhǎng)，tan∠AFC的值可求．

（1）證明：連結(jié)OF，BE，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∵∠C=90°，

∴∠AEB=∠ACD，

∴BE∥CD，

∵點(diǎn)F是弧BE的中點(diǎn)，

∴OF⊥BE，

∴OF⊥CD，

∵OF為半徑，

∴直線(xiàn)DF是⊙O的切線(xiàn)；

（2）解：∵∠C=∠OFD=90°，

∴AC∥OF，

∴△OFD∽△ACD，

∴，

∵BD=1，OB=2，

∴OD=3，AD=5，

∴，

∴CD===，

∵，

∴=，

∴tan∠AFC=．