Question

（2013•南充）如圖，公路AB為東西走向，在點A北偏東36.5°方向上，距離5千米處是村莊M；在點A北偏東53.5°方向上，距離10千米處時村莊N（參考數據；sin36.5°=0.6，cos36.5°=0.8，tan36.5°=0.75）．
（1）求M，N兩村之間的距離；
（2）要在公路AB旁修建一個土特產收購站P，使得M，N兩村到P的距離之和最短，求這個最短距離．

Answer 1

分析：（1）過點M作CD∥AB，NE⊥AB，在Rt△ACM中求出CM，AC，在Rt△ANE中求出NE，AE，繼而得出MD，ND的長度，在Rt△MND中利用勾股定理可得出MN的長度．
（2）作點N關于AB的對稱點G，連接MG交AB于點P，點P即為站點，求出MG的長度即可．

解答：解：（1）過點M作CD∥AB，NE⊥AB，如圖：

在Rt△ACM中，∠CAM=36.5°，AM=5km，
∵sin36.5°=

CM

5

=0.6，
∴CM=3，AC=

AM2-CM2

=4km，
在Rt△ANE中，∠NAE=90°-53.5°=36.5°，AN=10km，
∵sin36.5°=

NE

10

=0.6，
∴NE=6，AE=

AN2-NE2

=8km，
∴MD=CD-CM=AE-CM=5km，ND=NE-DE=NE-AC=2km，
在Rt△MND中，MN=

MD2+ND2

=

29

km．

（2）作點N關于AB的對稱點G，連接MG交AB于點P，點P即為站點，
此時PM+PN=PM+PG=MG，
在Rt△MDG中，MG=

52+102

=

125

=5

5

km．
答：最短距離為5

5

km．

點評：本題考查了解直角三角形的知識，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用三角函數值求解相關線段的長度，難度較大．