Question

如圖，已知等邊三角形△ABC內接于⊙O₁，⊙O₂與BC相切于C，與AC相交于E，與⊙O₁相交于另一點D，直線AD交⊙O₂于另一點F，交BC的延長線于G，點F為AG的中點．對于如下四個結論：①EF∥BC；②BC=FC；③DE•AG=AB•EC；④弧AD=弧DC．其中一定成立的是

1. A.
   ①②④
2. B.
   ②③
3. C.
   ①③④
4. D.
   ①②③④

Answer 1

C
分析：①連接CF，CD．運用弦切角定理過渡到證明內錯角相等，從而證明平行；
②FC=CE=BC；
③根據射影定理證明DE•AG=AB•EC；
④根據∠BCD=90°，則BD是直徑，又弧AB=弧BC，根據垂徑定理的推論有弧AD=弧CD．
解答：解：①連接CF，CD，
∵⊙O₂與BC相切于C，
∴CD是直徑，
∴∠CFD=90°，
∵F是AC的中點，
∴∠GCF=∠FCA=60°，
∴∠DCE=∠DCF=30°，
∴∠EDC=∠FDC=60°，
∴CE=CF，∠CEF=∠CFE，
∵⊙O₂與BC相切于C
∴∠FCG=∠FEC
∴∠FCG=∠EFC
∴EF∥BC，故正確；
②∵EF∥BC
∴∠CEF=60°
∴三角形CEF是等邊三角形
∴FC=CE=BC，故錯誤；
③根據EF∥BC，CD⊥EF，得CD⊥CG，
∴CD是小圓的直徑，則∠CFD=90°，
根據直角三角形CDG中的射影定理，得CF²=DF•DG，
再結合上述的證明結論，即可得到DE•AG=AB•EC，故正確；
④根據∠BCD=90°，得BD是大圓的直徑，
∵等邊三角形△ABC內接于⊙O₁，
∴∠ABD=∠CBD，
∴弧AD=弧DC，故正確．
故選C．
點評：綜合運用了切線的性質、圓周角定理的推論、三角形的中位線定理等．注意：上一個結論可以被下面所用．