Question

如圖所示，已知E是邊長為1的正方形ABCD對角線BD上一動點，點E從B點向D點運動（與B、D不重合），過點E作直線GH平行于BC，交AB于點G，交CD于點H，EF⊥AE于點E，交CD（或CD的延長線）于點F．
（1）如圖（1），求證：△AGE≌△EHF；
（2）點E在運動的過程中（圖（1）、圖（2）），四邊形AFHG的面積是否發生變化？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據四邊形ABCD是正方形，BD是對角線，且GH∥BC，求證△GEB和△HDE都是等腰直角三角形．又利用EF⊥AE
，可得∠EFH=∠AEG，然后即可求證△AGE≌△EHF．
（2）分兩種情況進行討論：（i）當點E運動到BD的中點時，利用四邊形AFHG是矩形，可得S_{四邊形AFHG}=

1

2

（ii）當點E不在BD的中點時，點E在運動（與點B、D不重合）的過程中，四邊形AFHG是直角梯形．由（1）知，△AGE≌△EHF，同理，圖（2），△AGE≌△EHF可得，S_{四邊形AFHG}=

1

2

（FH+AG）•GH=

1

2

，然后即可得出結論．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，BD是對角線，且GH∥BC，
∴四邊形AGHD和四邊形GHCB都是矩形，
△GEB和△HDE都是等腰直角三角形．
∴∠AGE=∠EHF=90°，GH=BC=AB，EG=BG
∴GH-EG=AB-BG
即EH=AG
∴∠EFH+∠FEH=90°
又∵EF⊥AE，
∴∠AEG+∠FEH=90°．
∴∠EFH=∠AEG
∴△AGE≌△EHF

（2）四邊形AFHG的面積沒有發生變化．
（i）當點E運動到BD的中點時，
四邊形AFHG是矩形，S_{四邊形AFHG}=

1

2

（ii）當點E不在BD的中點時，點E在運動（與點B、D不重合）的過程中，四邊形AFHG是直角梯形．
由（1）知，△AGE≌△EHF
同理，圖（2），△AGE≌△EHF
∴FH=EG=BG．
∴FH+AG=BG+AG=AB=1
這時，S_{四邊形AFHG}=

1

2

（FH+AG）•GH=

1

2

綜合（i）、（ii）可知四邊形AFHG的面積沒有發生改變，都是

1

2

．

點評：此題主要考查正方形的性質，全等三角形的判定與性質等知識點的理解和掌握，此題有一定的拔高難度，屬于難題．