Question

（2012•本溪二模）如圖所示，已知E是邊長為a的正方形ABCD對角線BD上一動點，點E從B點向D點運動（與B、D不重合），過點E作直線GH平行于BC，交AB于點G，交CD于點H，EF⊥AE于點E，交CD（或CD的延長線）于點F．
（1）如圖（1），請寫出圖中所有的全等三角形（不必證明）；
（2）點E在運動的過程中（如圖（1）、圖（2），四邊形AFHG的面積是否發生變化？請說明理由；
（3）若a=2+

2

，在（2）運動過程中，設AF與BD交于M點，則BE=

2

或

2

+1

時，△AEM是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的性質就可以得出△ABD≌△CBD，△AGE≌△EHF；
（2）由△AGE≌△EHF可以得出GE=HF=GB，AG=EH．根據直角梯形就可以求出四邊形AFHG的面積，而得出結論；
（3）如圖3，當AE=AM時作AN⊥BD于N，設GE=x，則GB=x，由等腰三角形的性質就可以得出GE=NE，由條件建立方程求出其解即可；如圖4，當AE=ED時，∠AED=90°，就可以得出BE=

1

2

BD，由勾股定理求出BD即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90．∠ABD=∠CBD=∠ADC=∠CDB=45°．
在△ABD和△CDB中，

AB=BC AD=CD BA=BD

，
∴△ABD≌△CDB（SSS）．
∵GH∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=90°，∠DHC=∠C=90°，∠GEB=∠EBC=45°，
∴∠BGC=90°．∠GAE+∠GEA=90°，∠GBE=∠GEB，∠AGE=∠EHF．
∴GE=GB．
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠HEF+∠AEG=90°，
∴∠GAE=∠HEF．
∵AB=GH，
∴AB-GB=GH-GE，
∴AG=EH．
在△AGE和△EHF中，

∠GAE=∠HEF AG=EH ∠AGE=∠EHF

，
∴△AGE≌△EHF（ASA）．

（2）四邊形AFHG的面積不變．
∵四邊形AFHG是直角梯形，
∴S_{四邊形AFHG}=

1

2

（FH+AG）•GH．
∵△AGE≌△EHF，
∴FH=GE，
∴FH=BG．
∴S_{四邊形AFHG}=

1

2

（GB+AG）•GH=

1

2

a²．
∴四邊形AFHG的面積不變．

（3）當AE=AM時作AN⊥BD于N，
∴∠EAN=∠MAN=

1

2

∠EAF=22.5°．
∵AB=AD，
∴∠BAN=∠DAN=45°，BN=

1

2

BD
∴∠GAE=∠DAN=22.5°，
∴∠GAE=∠NAE，
∴GE=EN．
設GB=x，則GE=EN=x，BE=

2

x，
∵AB=2+

2

，由勾股定理，得
∴BD=2

2

+2，
∴BN=

2

+1．
∴

2

x=

2

+1-x，
解得：x=1，
∴BE=

2

．
如圖4，當AE=ED時，
∴∠AND=90°．
∵AB=AD，
∴BE=

1

2

BD．
∴BE=

2

+1．
故答案為：

2

或

2

+1

點評：本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，梯形的面積公式的運用，等腰直角三角形的性質的運用，解答時求出三角形全等是關鍵．